一道数学题，解法不知正确与否，但结果与答案相同，存下以待后查

设0<b<1+a ，若关于x的的不等式(x-b)²>(ax)²的解集中的整数恰有3个，则a的取值范围是？

 

解：

根题中条件可得上图两条二次曲线，两条曲线 相交的两点之间为解集。也有可能只有一个交点的情况，但那样的话，解集中的整数就不只3个了，而是无数个。所以a的绝对值是大于1的，所以曲线和交点只能是图中所示的形式。

根据0<b<1+a可以得到a>-1，而上面的结论是a的绝对值大于1，所以a>1。

这样就可以通过解方程(x-b)²＝(ax)²得x-b=ax，和x-b=-ax，解得x₁=b/(1+a)和x₂=b/(1-a)， 如图中所标示的。

因为x₁=b/(1+a)， 又有已知条件0<b<1+a，所以x₁<1，所以，在解集中的整数没有1，所以那三个整数为-2，-1，0。所以有-2>x₂=b/(1-a)>-3，解得b/3+1<a<b/2+1。

a<b/2+1，又有b<a+1，所以a<b/2+1<(a+1)/2+1，得 a<3；

a>b/3+1，又有b>0，所以a>b/3+1>0/3+1=1。

所以有 1<a<3。a的值取在(1, 3)区间。